ちゃんと勉強しなかった俺 meyon の、三角関数に関するノートです。記事の内容に数学的な厳密さはありませんので、ご容赦を。
この記事は随時加筆更新します。(最終更新日 2025.04.16)
三角関数の定義
半径 r の円において、
円の方程式 (三平方の定理) 
半径 r = 1 の円 (単位円) で考えると、
sinθ は y 座標、cosθ は x 座標
tanθ は動径の傾き、直線 x ＝1 と交わる点の y 座標
単位円の方程式 
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | |
| sinθ | 0 |  |  |  | 1 | | | | 0 |
| cosθ | 1 | | | | 0 |  |  |  | -1 |
| tanθ | 0 |  | 1 |  | × |  | -1 |  | 0 |
三角関数の相互関係
(1) 
、
より
(2) 、、 より
(3) より
90° – θ の三角関数
tan(90°ーθ ) は、
tan(90°ーθ )＝sin(90°ーθ ) / cos(90°ーθ )
としても導出できる。
三角形 ABC の ∠A、∠B、∠C の大きさを、それぞれ A、B、C とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
| (1) |  | (2) |  |
である。
(1)
、
(2)
、
なので、
鈍角の三角関数
鈍角であっても三角関数の定義に変わりはない。
相互関係も同じ。
180°-θ の三角関数
90°+θ の三角関数
公式から、
sin( 90°＋θ )＝sin{180°ー ( 90°ーθ )}
として導出することもできる。
180°+θ の三角関数
公式から、
sin(180°＋θ )＝sin{ 90°＋( 90°＋θ )}
として導出することもできる。
正弦定理
△ABC において、辺 BC、CA、AB の長さをそれぞれ a、b、c で表し、∠A、∠B、∠C の大きさをそれぞれ A、B、C で表す。また、外接円の半径を R とする。
他の辺についても同様なので、
である。また、
のようにも書くことができる。
A が鋭角、直角、鈍角の場合について考える。
(1) A＜90° のとき
a＝2R sinD である。円周角の定理よりD＝A なので、
(2) A＝90° のとき
a＝2R＝2R sin90° として、
(3) A＞90° のとき
四角形 ABDC は円に内接しているので、向かい合う角の和は 180°、つまり A＋D＝180° である。
したがって、D＝180°ーA より
a＝2R sinD＝2R sin(180°ーA) なので、
余弦定理
△ABC において、
他の辺についても同様なので、
である。また、
のように表すこともできる。
A、B がともに鋭角の場合、B が鈍角の場合、A が鈍角の場合について考える。
(1) 0°＜A＜90° 、0°＜B＜90° のとき
三平方の定理より a2＝BH2＋CH2 である。
a2＝(cーb cosA)2＋(b sinA)2
＝c2ー2bc cosA＋b2(cos2A＋sin2A) なので、
(2) 90°≦B＜180° のとき
a2＝(b cosAーc)2＋(b sinA)2
＝b2(cos2A＋sin2A)ー2bc cosA＋c2 なので、
B＝90° のとき、b cosA＝c なので、
a2=b2＋c2ー2c2＝b2ーc2 である。
(3) 90°≦A＜180° のとき
a2＝(ーb cosA＋c)2＋(b sinA)2
＝b2(cos2A＋sin2A)ー2bc cosA＋c2 なので、
A＝90° のとき、cosA＝0 なので、
a2＝b2＋c2 である。
三角形の 3 辺の長さが 3、7、x であるとき、次のものを求めよ。
(1) x の値の範囲 (2) 鈍角三角形のとき、x の値の範囲
(3) 1 つの角の大きさが 120° であるとき x の値
(1) 三角形の成立条件 (1 辺が他の 2 辺の和より小さく、差より大きい) |aーb|＜c＜a＋b
|7ー3|<x<7＋3 より 4<x<10
(2) 鈍角三角形 (90°＜A＜180°) ならば a2＞b2＋c2
(i) x<7 のとき、72＞32＋x2 なので、x＜2√10
(ii) x＞7 のとき、x2＞72＋32 なので、x＞√58
これらと (1) とから、4＜x＜2√10 、√58＜x＜10
ちなみに、x＝2√10 、√58 のとき直角三角形になり、2√10＜x＜√58 のとき鋭角三角形になる。
(3) 120° の角の対辺が最大の辺である。
(i) 最大の辺が 7 のとき、72＝32＋x2ー2･3x cos120° なので x2＋3xー40＝0、よって x＝5、-8
(ii) 最大の辺が x のとき、x2＝72＋32ー2･7･3 cos120° なので x＝±√79
よって、x＝5、√79
△ABC において
証明
三角形の面積
△ABC の面積を S とすると、
底辺 AB に対する高さを h とすると、
同様に、
△ABC の面積を S、内接円の半径を r とすると、
△ABC の内接円の中心を O とすると、
