ちゃんと勉強しなかった俺 meyon の、三角関数に関するノートです。記事の内容に数学的な厳密さはありませんので、ご容赦を。
この記事は随時加筆更新します。(最終更新日時 2025.01.20 01:27)
三角関数の定義
半径 r の円において、
円の方程式 (三平方の定理) 
半径 r = 1 の円 (単位円) で考えると、
sinθ は y 座標、cosθ は x 座標
tanθ は動径の傾き、直線 x ＝1 と交わる点の y 座標
単位円の方程式 
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | |
| sinθ | 0 |  |  |  | 1 | | | | 0 |
| cosθ | 1 | | | | 0 |  |  |  | -1 |
| tanθ | 0 |  | 1 |  | × |  | -1 |  | 0 |
三角関数の相互関係
(1) 
、
より
(2) 、、 より
(3) より
90° – θ の三角関数
tan(90°ーθ ) は、
tan(90°ーθ )＝sin(90°ーθ ) / cos(90°ーθ )
としても導出できる。
三角形 ABC の ∠A、∠B、∠C の大きさを、それぞれ A、B、C とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
| (1) |  | (2) |  |
である。
(1)
、
(2)
、
なので、
鈍角の三角関数
鈍角であっても三角関数の定義に変わりはない。
相互関係も同じ。
180°-θ の三角関数
90°+θ の三角関数
公式から、
sin( 90°＋θ )＝sin{180°ー ( 90°ーθ )}
として導出することもできる。
180°+θ の三角関数
公式から、
sin(180°＋θ )＝sin{ 90°＋( 90°＋θ )}
として導出することもできる。
正弦定理
△ABC において、辺 BC、CA、AB の長さをそれぞれ a、b、c で表し、∠A、∠B、∠C の大きさをそれぞれ A、B、C で表す。また、外接円の半径を R とする。
他の辺についても同様なので、
である。また、
のようにも書くことができる。
A が鋭角、直角、鈍角の場合について考える。
(1) A＜90° のとき
a ＝2R sinD である。円周角の定理よりD＝A なので、
(2) A＝90° のとき
a ＝2R ＝2R sin90° として、
(3) A＞90° のとき
四角形 ABDC は円に内接しているので、向かい合う角の和は 180°、つまり A＋D＝180° である。
したがって、D ＝180°ーA より
a ＝2R sinD ＝2R sin(180°ーA ) なので、
余弦定理
△ABC において、
他の辺についても同様なので、
である。
A、B がともに鋭角の場合、B が鈍角の場合、C が鈍角の場合について考える。
(1) 0°＜A＜90° 、0°＜B＜90° のとき
三平方の定理より a2＝BH2＋CH2 である。
a2 ＝(c ーb cosA)2＋(b sinA)2
＝c2 ー2bc cosA＋b2 (cos2A＋sin2A) なので、
(2) 90°≦B＜180° のとき
a2＝(b cosAーc)2＋(b sinA)2
＝b2(cos2A＋sin2A)ー2bc cosA＋c2 なので、
B＝90° のとき、b cosA＝c なので、
a2=b2＋c2 ー2c2 ＝b2ーc2 である。
(3) 90°≦A＜180° のとき
a2＝(ーb cosA＋c)2＋(b sinA)2
＝b2(cos2A＋sin2A)ー2bc cosA＋c2 なので、
A＝90° のとき、cosA＝0 なので、
a2＝b2＋c2 である。
