論理回路 / 基本的な論理回路

わかってることでも、もう一度実際に確認してみよう。ってんで作った実験用の回路 (図 1)。

押しボタンを押すと、ゲートに HIGH が入力されると同時に、入力側の LED が点灯します。出力が HIGH のとき、出力側の LED が点灯します。

図 1 は NAND ゲートが入っていますが、AND や OR を入れれば、それぞれの動きが確認できます。

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真理値表のように、2つの入力A、Bがともに “1” のときだけ、出力 Q が “0” になります。それ以外はすべて “1” です。
“1” とは HIGH レベル、”0″ は LOW レベルと考えて下さい。実験回路では、押しボタンを 2 つとも押したときだけ、出力 LED が消灯 (LOW)。その他の状態では点灯 (HIGH) したままです。

出力がいきなり負理論になっちゃうのでややこしいですが、AND の出力を NOT で反転したもの、と考えるとわかりいいかも、です。

論理式は、

Q = A・B

解説によっては、こんな式もでてきます。

Q = A・B = A + B

これは何だ？って話。

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NOT ゲートは、1 つの入力と 1 つの出力だけ。入力は反転して出力されます。

論理式は、

Q = A

簡単ですね。

NAND の出力の ○ は、負理論の意味もあるけど、NOT を表しているんだとか。

論理式を少し変換してみます。

Q = A = A + A = A・A

ってことで、

fNOT(A) = fNAND(A,A)

つまり、NAND ゲートの 2 つの入力をショートして、同じ信号を入れると、NOT ゲートになる、ってことです (図 4)。

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入力 A、B がともに 1 のときだけ、出力 Q が 1 になります。

論理式は、

Q = A・B

真理値表から導き出すには「主加法標準形」を使います。出力 Q が 1 になるのは、A、B がともに 1 のときだけです。したがって、

Q = A・B

うーん、そのまんまだ。

NAND は、AND の出力を NOT したものだと、上で書きました。逆に言うと、NAND の出力を NOT すると、AND になる。

f_NOT(X) = f_NAND(X,X) なので、

fAND(A,B) = fNOT(fNAND(A,B)) = fNAND(fNAND(A,B),fNAND(A,B))

これを論理回路にすると、図 6 のようになります。

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入力 A、B のどちらか一方でも 1 ならば、1 が出力されます。

論理式は、

Q = A + B

主乗法標準形でも、Q = 0 のとき f(0,0) なので、

Q = A + B

ですね。

ちなみに、

から、

fOR(A,B) = fNAND(A,B) = fNAND(fNOT(A),fNOT(B))

となります。

さらに変換して、NAND で構成してみましょう。

fOR(A,B) = fNAND(fNOT(A),fNOT(B)) 
         = fNAND(fNAND(A,A),fNAND(B,B))

図 8 のようになりました。
この論理回路を組んで、入力の 1 つ以上の押しボタンを押すと、出力の LED が点灯します。どちらの押しボタンも押していないときだけ、消灯します。OR 回路になっていますね。

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2つの入力が異なる値のときに、出力が 1 になる論理回路です。

論理式は、主加法標準形により、

Q = A・B + A・B

となります。

XOR を他の論理ゲートを利用して作る方法が、ググるといろいろと紹介されています。俺がもっとも好きなのは、NAND ゲート 4 個を使って作るもの。これなら、74HC00 が 1 個あれば作れちゃいますからね。

論理式を変換してみましょう。まず、

A・B = A・B + B・B = B ( A + B ) = B・A・B

と変形できますので、

これは、

fXOR(A,B) = fNAND(fNAND(fNAND(A,B),B),fNAND(A,fNAND(A,B)))

と表せられますので、論理回路は図 10 のようになりました。